我们考虑平值期权，即行权价K等于当前资产价格S0。所以： 情景1: S0 = 100, σ = 10%, 所以一年波动幅度约为100 * 10% = 10元。 情景2: S0 = 50, σ = 20%, 所以一年波动幅度约为50 * 20% = 10元。 你直觉上认为波动幅度相同，所以期权价格可能差不多。但根据布莱克-斯科尔斯模型，期权价格不仅取决于波动幅度，还取决于波动率与资产价格的相对比例等因素。实际上，在平值期权情况下，看涨期权价格大约为 S0 * σ * sqrt(T) 乘以一个系数（当利率为0时，近似公式为 C ≈ S0 * (0.4 * σ * sqrt(T))）。但更精确地，我们需要比较。 我们设T=1年，假设无风险利率r=0（简化计算），则平值看涨期权价格公式为： C = S0 * [N(d1) - N(d2)]，其中 d1 = (ln(S0/K) + (σ^2/2)T) / (σ sqrt(T))，由于平值 S0=K，所以 ln(S0/K)=0，故 d1 = (σ^2/2 * T) / (σ sqrt(T)) = (σ/2) sqrt(T)，d2 = d1 - σ sqrt(T) = - (σ/2) sqrt(T)。 所以 C = S0 [N(σ sqrt(T)/2) - N(-σ sqrt(T)/2)] = S0 [2 N(σ sqrt(T)/2) - 1]。 对于情景1: S0=100, σ=0.1, T=1, 则 d1 = 0.1/2=0.05, N(0.05)≈0.5199, 所以 C1 = 100(2 * 0.5199-1) = 100(1.0398-1)=100 * 0.0398=3.98。 对于情景2: S0=50, σ=0.2, T=1, 则 d1 = 0.2/2=0.1, N(0.1)≈0.5398, 所以 C2 = 50(2 * 0.5398-1)=50(1.0796-1)=50 * 0.0796=3.98。 结果都是3.98？这很有意思，竟然完全相等？我们计算更精确些。 实际上，N(0.05) = 0.5199388, 所以 C1 = 100(2 * 0.5199388-1)=100(1.0398776-1)=100 * 0.0398776=3.98776。 N(0.1) = 0.5398278, 所以 C2 = 50(2 * 0.5398278-1)=50(1.0796556-1)=50 * 0.0796556=3.98278。 两者几乎相等，微小差异来自计算精度。实际上，在r=0且平值时，期权价格 C = S0 [2N(σ sqrt(T)/2)-1]，而 S0 σ sqrt(T) 是关键的组合。但这里 S0 和 σ 不同，但 S0 * σ 是常数吗？不是，情景1: 100 * 0.1=10，情景2: 50 * 0.2=10。但公式中并不是简单的 S0 σ 线性关系。我们来看：C = S0 * f(σ)，其中 f(σ)=2N(σ sqrt(T)/2)-1。当 σ 较小时，N(x) ≈ 0.5 + x/√(2π)，所以 f(σ) ≈ 2(0.5 + (σ sqrt(T)/2)/√(2π)) -1 = (σ sqrt(T))/√(2π)。因此 C ≈ S0 * σ sqrt(T) / √(2π)。所以当 S0 σ 乘积相同时，C 近似相等。这里 S0 σ 都是10，所以近似相等。实际上，更精确的公式显示，当 S0 σ 乘积相等时，C 并不严格相等，但非常接近。我们上面计算的结果相差只有0.005，相对误差很小。 但注意，这里假设了 r=0。如果 r>0，会怎样？我们之前的一般结论是 C(a,b) > C(a/2,2b)。但平值情况下，当 r=0 时，两者几乎相等。当 r>0 时，我们需要重新计算。 考虑 r>0 的一般情况。平值期权 S0=K，但 r 不为零。则 d1 = (ln(S0/K) + (r+σ^2/2)T) / (σ sqrt(T)) = (r+σ^2/2) sqrt(T)/σ，d2 = d1 - σ sqrt(T) = (r-σ^2/2) sqrt(T)/σ。 期权价格 C = S0 N(d1) - K e^{-rT} N(d2) = S0 [N(d1) - e^{-rT} N(d2)]，因为 S0=K。 情景1: S0=100, σ=0.1, r, T=1。 情景2: S0=50, σ=0.2, r, T=1。 我们比较 C1 和 C2。 设 r=5%，计算： 情景1: σ=0.1, S0=100, K=100, T=1, r=0.05。 d1 = (0.05 + 0.1^2/2) / 0.1 = (0.05+0.005)/0.1 = 0.055/0.1 = 0.55 d2 = 0.55 - 0.1 = 0.45 N(d1)=N(0.55)=0.70884, N(d2)=N(0.45)=0.67364, e^{-rT}=e^{-0.05}=0.95123 C1 = 100 * 0.70884 - 100 * 0.95123 * 0.67364 = 70.884 - 64.059 = 6.825 情景2: σ=0.2, S0=50, K=50, T=1, r=0.05。 d1 = (0.05 + 0.2^2/2) / 0.2 = (0.05+0.02)/0.2 = 0.07/0.2 = 0.35 d2 = 0.35 - 0.2 = 0.15 N(d1)=N(0.35)=0.63683, N(d2)=N(0.15)=0.55962, e^{-rT}=0.95123 C2 = 50 * 0.63683 - 50 * 0.95123 * 0.55962 = 31.8415 - 26.614 = 5.2275 此时 C1=6.825, C2=5.228，C1 > C2。 如果 r 更大，比如 r=10%： 情景1: d1=(0.1+0.005)/0.1=1.05, d2=0.95, N(1.05)=0.85314, N(0.95)=0.82894, e^{-0.1}=0.90484, C1=100 * 0.85314 - 100 * 0.90484 * 0.82894=85.314-75.0=10.314 情景2: d1=(0.1+0.02)/0.2=0.12/0.2=0.6, d2=0.4, N(0.6)=0.72575, N(0.4)=0.65542, C2=50 * 0.72575 - 50 * 0.90484 * 0.65542=36.2875 - 29.66=6.6275 C1 > C2 差距更大。 如果 r 为负（罕见），比如 r=-2%： 情景1: d1=(-0.02+0.005)/0.1=-0.015/0.1=-0.15, d2=-0.25, N(-0.15)=0.44038, N(-0.25)=0.40129, e^{0.02}=1.0202, C1=100 * 0.44038 - 100 * 1.0202 * 0.40129? 注意 e^{-rT}=e^{0.02}=1.0202, 所以 C1=44.038 - 100 * 1.0202 * 0.40129=44.038-40.945=3.093 情景2: d1=(-0.02+0.02)/0.2=0/0.2=0, d2=-0.2, N(0)=0.5, N(-0.2)=0.42074, e^{0.02}=1.0202, C2=50 * 0.5 - 50 * 1.0202 * 0.42074=25 - 21.46=3.54 此时 C1=3.093, C2=3.54, 所以 C1 < C2。 所以，在平值看涨期权下，两者的高低取决于利率 r。当 r=0 时，两者几乎相等（严格来说，由于公式的非线性，并不完全相等，但非常接近）。当 r>0 时，C(a,b) > C(a/2,2b)；当 r<0 时，C(a,b) < C(a/2,2b)。这是因为利率对期权价格的影响：对于看涨期权，利率越高，期权价格越高（因为持有成本）。在情景1中，资产价格更高，所以利率的正面影响更大（因为借入现金购买资产的成本更高，看涨期权相当于融资买入资产的替代，利率高时更值钱）。在情景2中资产价格低，利率影响相对较小。同时波动率加倍虽然增加时间价值，但资产价格减半减少了内在价值和对利率的敏感性。 因此，您最初的直觉“期权价格差不多”在利率为零时是正确的，但在实际市场中利率通常为正，所以大多数情况下，资产价格为a、波动率为b的期权价格更高。在之前的回答中，我假设了典型正利率情形，所以给出了C(a,b) > C(a/2,2b)的结论。但严格来说，这取决于利率。
在平值看涨期权（行权价等于资产价格）且其他条件（期限T、无风险利率r）相同的情况下，比较以下两种情景的期权价格：
- 情景1：资产价格 (S_1 = a)，波动率 (\sigma_1 = b)
- 情景2：资产价格 (S_2 = a/2)，波动率 (\sigma_2 = 2b)
结论是：期权价格的高低取决于无风险利率 (r) 的大小。
- 当 (r = 0) 时：两者价格几乎相等，但情景1的价格略高于情景2，差异极小（例如 (a=100, b=10%) 时，(C_1 \approx 3.9878)，(C_2 \approx 3.9828)）。
- 当 (r > 0) 时：情景1的价格高于情景2，且随着 (r) 增大，差距扩大（例如 (r=5%) 时，(C_1 \approx 6.825)，(C_2 \approx 5.228)）。
- 当 (r < 0) 时：情景1的价格低于情景2（例如 (r=-2%) 时，(C_1 \approx 3.093)，(C_2 \approx 3.540)）。
原因分析：
在布莱克-斯科尔斯模型中，利率 (r) 通过折现因子和 (d_1, d_2) 影响期权价格。对于看涨期权，较高的 (r) 会降低行权价的现值，提升期权价值。当资产价格更高时（情景1），利率的正面效应更强；而资产价格减半（情景2）会削弱这种效应。虽然波动率加倍会增加时间价值，但在平值且正利率环境下，资产价格的主导作用更显著。
因此，在通常的正利率假设下，情景1的期权价格更高，即 (C(a, b) > C(a/2, 2b))。
你说的详细点把过程写清楚
在比较平值看涨期权（行权价等于当前资产价格）的两种情景时，我们详细分析如下：
1. 问题设定
考虑欧式看涨期权，假设期限为 (T) 年，无风险利率为 (r)（连续复利）。比较两种情景：
- 情景1：资产价格 (S_1 = a)，波动率 (\sigma_1 = b)
- 情景2：资产价格 (S_2 = a/2)，波动率 (\sigma_2 = 2b)
其他条件相同。由于是平值期权，行权价分别等于各自资产价格，即 (K_1 = a)，(K_2 = a/2)。
2. 布莱克-斯科尔斯公式的平值简化
对于欧式看涨期权，布莱克-斯科尔斯定价公式为： [ C = S N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2) ] 其中 [ d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}. ] 在平值条件下 (S = K)，有 (\ln(S/K) = 0)，于是： [ d_1 = \frac{(r + \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}} = \left( \frac{r}{\sigma} + \frac{\sigma}{2} \right) \sqrt{T}, \quad d_2 = \left( \frac{r}{\sigma} - \frac{\sigma}{2} \right) \sqrt{T}. ] 期权价格简化为： [ C = S \left[ N(d_1) - e^{-rT} N(d_2) \right]. ]
3. 两种情景的具体表达式
情景1：(S_1 = a)，(\sigma_1 = b)，(K_1 = a) [ d_{11} = \left( \frac{r}{b} + \frac{b}{2} \right) \sqrt{T}, \quad d_{12} = \left( \frac{r}{b} - \frac{b}{2} \right) \sqrt{T}, ] [ C_1 = a \left[ N(d_{11}) - e^{-rT} N(d_{12}) \right]. ]
情景2：(S_2 = a/2)，(\sigma_2 = 2b)，(K_2 = a/2) [ d_{21} = \left( \frac{r}{2b} + \frac{2b}{2} \right) \sqrt{T} = \left( \frac{r}{2b} + b \right) \sqrt{T}, \quad d_{22} = \left( \frac{r}{2b} - b \right) \sqrt{T}, ] [ C_2 = \frac{a}{2} \left[ N(d_{21}) - e^{-rT} N(d_{22}) \right]. ]
为简化分析，定义 (x = b \sqrt{T})，(y = r \sqrt{T} / b)，则 (r \sqrt{T} = y b)。代入得：
- 情景1：(d_{11} = y + \frac{x}{2})，(d_{12} = y - \frac{x}{2})
- 情景2：(d_{21} = \frac{y}{2} + x)，(d_{22} = \frac{y}{2} - x)
4. 特殊情况：无风险利率 (r = 0)
当 (r = 0) 时，(y = 0)，且 (e^{-rT} = 1)。于是： [ d_{11} = \frac{x}{2}, \quad d_{12} = -\frac{x}{2}, \quad d_{21} = x, \quad d_{22} = -x. ] 代入价格公式： [ C_1 = a \left[ N\left(\frac{x}{2}\right) - N\left(-\frac{x}{2}\right) \right] = a \left[ 2N\left(\frac{x}{2}\right) - 1 \right], ] [ C_2 = \frac{a}{2} \left[ N(x) - N(-x) \right] = \frac{a}{2} \left[ 2N(x) - 1 \right]. ] 比较 (C_1) 和 (C_2)，即比较 (2N(x/2)-1) 与 ((2N(x)-1)/2)。定义函数： [ f(x) = 4N\left(\frac{x}{2}\right) - 2N(x) - 1. ] 若 (f(x) > 0)，则 (C_1 > C_2)；若 (f(x) < 0)，则 (C_1 < C_2)。通过数值计算：
- 当 (x = 0.1)：(N(0.05) \approx 0.51994)，(N(0.1) \approx 0.53983)，(f(0.1) \approx 0.0001 > 0)
- 当 (x = 0.5)：(N(0.25) \approx 0.59871)，(N(0.5) \approx 0.69146)，(f(0.5) \approx 0.01192 > 0)
- 当 (x = 1.0)：(N(0.5) \approx 0.69146)，(N(1.0) \approx 0.84134)，(f(1.0) \approx 0.08316 > 0)
可见 (f(x) > 0) 对所有 (x > 0) 成立，因此当 (r=0) 时，(C_1 > C_2)，但差距很小（尤其是当 (x) 较小时）。例如取 (a=100, b=0.1, T=1)，则 (x=0.1)，计算得 (C_1 \approx 3.9878)，(C_2 \approx 3.9828)，相差仅 (0.005)。
5. 一般情况：(r \neq 0)
当 (r \neq 0) 时，期权价格与利率相关。我们通过数值示例来观察规律。固定 (a=100, b=0.1, T=1)，变化 (r)：
(r = 0.05)：
- 情景1：(d_{11} = (0.05/0.1 + 0.1/2) = 0.5 + 0.05 = 0.55)，(d_{12} = 0.55 - 0.1 = 0.45)
(N(0.55) \approx 0.70884)，(N(0.45) \approx 0.67364)，(e^{-0.05} \approx 0.95123)
(C_1 = 100 \times 0.70884 - 100 \times 0.95123 \times 0.67364 \approx 6.825) - 情景2：(d_{21} = (0.05/0.2 + 0.2/2) = 0.25 + 0.1 = 0.35)，(d_{22} = 0.35 - 0.2 = 0.15)
(N(0.35) \approx 0.63683)，(N(0.15) \approx 0.55962)，(e^{-0.05} \approx 0.95123)
(C_2 = 50 \times 0.63683 - 50 \times 0.95123 \times 0.55962 \approx 5.228) - 结果：(C_1 > C_2)
- 情景1：(d_{11} = (0.05/0.1 + 0.1/2) = 0.5 + 0.05 = 0.55)，(d_{12} = 0.55 - 0.1 = 0.45)
(r = 0.10)：
- 情景1：(d_{11} = (0.1/0.1 + 0.1/2) = 1.0 + 0.05 = 1.05)，(d_{12} = 1.05 - 0.1 = 0.95)
(N(1.05) \approx 0.85314)，(N(0.95) \approx 0.82894)，(e^{-0.1} \approx 0.90484)
(C_1 \approx 10.314) - 情景2：(d_{21} = (0.1/0.2 + 0.2/2) = 0.5 + 0.1 = 0.6)，(d_{22} = 0.6 - 0.2 = 0.4)
(N(0.6) \approx 0.72575)，(N(0.4) \approx 0.65542)
(C_2 \approx 6.628) - 结果：(C_1 > C_2)，差距更大。
- 情景1：(d_{11} = (0.1/0.1 + 0.1/2) = 1.0 + 0.05 = 1.05)，(d_{12} = 1.05 - 0.1 = 0.95)
(r = -0.02)（负利率）：
- 情景1：(d_{11} = (-0.02/0.1 + 0.1/2) = -0.2 + 0.05 = -0.15)，(d_{12} = -0.15 - 0.1 = -0.25)
(N(-0.15) \approx 0.44038)，(N(-0.25) \approx 0.40129)，(e^{0.02} \approx 1.0202)（注意 (e^{-rT} = e^{0.02})）
(C_1 = 100 \times 0.44038 - 100 \times 1.0202 \times 0.40129 \approx 3.093) - 情景2：(d_{21} = (-0.02/0.2 + 0.2/2) = -0.1 + 0.1 = 0)，(d_{22} = 0 - 0.2 = -0.2)
(N(0) = 0.5)，(N(-0.2) \approx 0.42074)
(C_2 = 50 \times 0.5 - 50 \times 1.0202 \times 0.42074 \approx 3.540) - 结果：(C_1 < C_2)
- 情景1：(d_{11} = (-0.02/0.1 + 0.1/2) = -0.2 + 0.05 = -0.15)，(d_{12} = -0.15 - 0.1 = -0.25)
6. 经济直觉解释
- 利率对看涨期权的影响：看涨期权的 Rho（利率敏感性）为正，即 (\frac{\partial C}{\partial r} > 0)。这是因为高利率会降低行权价 (K) 的现值，从而提升看涨期权的价值。
- 资产价格的影响：Rho 的大小与资产价格正相关。对于情景1（资产价格高），期权价值对利率更敏感；情景2（资产价格低）对利率的敏感性较低。
- 综合效果：
- 当 (r > 0) 时，利率的正面影响更有利于高资产价格的期权，因此情景1的价格更高，且随着 (r) 增大，优势更明显。
- 当 (r = 0) 时，利率因素消失，两者价格几乎相等，但非线性效应（由正态分布函数的凸性引起）使情景1略微占优。
- 当 (r < 0) 时，利率为负会降低看涨期权的价值，且高资产价格的期权受损更严重，因此情景2的价格更高。
7. 结论
在平值看涨期权的比较中：
- 若 无风险利率 (r = 0)，两种期权的价格几乎相等，但 (C(a, b)) 略大于 (C(a/2, 2b))，差异很小。
- 若 (r > 0)（通常情况），则 (C(a, b) > C(a/2, 2b))。
- 若 (r < 0)，则 (C(a, b) < C(a/2, 2b))。
因此，您的直觉在 (r=0) 的特殊情况下基本正确，但在实际的正利率环境中，资产价格高、波动率低的期权价格更高。
