布莱克-斯科尔斯期权定价模型详解

好的，这是期权定价领域最著名的模型——布莱克-斯科尔斯-默顿模型的完整计算公式和解释。

该模型为欧式期权（即只能在到期日行权）提供理论定价公式。其核心思想是通过构建一个“无风险对冲组合”（由期权和其标的资产组成），在无套利假设下，推导出期权价格必须满足的偏微分方程，并最终得到解析解。

一、模型的基本假设

理解公式前，必须了解其严格的假设前提：

1. 无摩擦市场：无交易成本、税收，允许完全卖空。
2. 无风险利率恒定：存在一个已知且恒定的无风险利率 r。
3. 标的资产价格服从几何布朗运动：其波动路径是连续的，且波动率（σ）恒定（这是最关键也是最不现实的假设之一）。
4. 标的资产不支付股息（默顿后来扩展了股息版本）。
5. 期权是欧式的，到期日前不行权。
6. 市场连续运作，允许随时交易。

二、布莱克-斯科尔斯-默顿定价公式

对于看涨期权 和 看跌期权 的定价公式如下：

1. 看涨期权价格 [ C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2) ]

2. 看跌期权价格 [ P = K e^{-rT} N(-d_2) - S_0 N(-d_1) ]

其中： [ d_1 = \frac{\ln(S_0 / K) + (r + \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} ] [ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T} = \frac{\ln(S_0 / K) + (r - \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} ]

三、公式参数详解

符号	含义	说明
C	看涨期权的理论价格	模型的输出结果
P	看跌期权的理论价格	模型的输出结果
S₀	标的资产的当前价格	最核心的输入之一，如股票现价
K	期权的行权价格	期权合约中约定的买卖价格
T	期权的剩余期限（年化）	例如，30天到期则 T = 30/365
r	无风险年利率	通常用对应期限的国债利率
σ	标的资产的年化波动率	这是模型的核心输入，也是最难准确估计的参数。通常使用历史波动率或隐含波动率。
N(x)	标准正态分布的累积分布函数	表示随机变量小于 x 的概率。N(d1) 和 N(d2) 都具有重要的金融含义。
e^{-rT}	连续复利下的折现因子	将未来行权价 K 折现到当前的价值。

四、核心组成部分的金融含义

• N(d₂) 的风险中性概率：在风险中性的世界里，期权到期时处于实值状态（即会被行权）的概率。对于看涨期权，S_T > K 的概率是 N(d₂)。
• N(d₁) 与 Delta：N(d₁) 就是看涨期权的 Delta，即“标的资产价格变动1单位，期权价格变动的幅度”。它也代表了对冲一份看涨期权所需买入的标的资产数量。
• 公式结构解读（以看涨期权为例）：
  • S₀N(d₁)：可以理解为“预期的股票头寸价值”，即到期时期权有价值的条件下，股票价格的期望现值乘以该概率。
  • Ke^{-rT}N(d₂)：可以理解为“预期的行权支出现值”，即到期时需要支付行权价的期望现值。
  • 看涨期权价格 = 预期的股票收益现值 - 预期的行权支出现值。

五、模型的使用、贡献与局限

• 如何使用：将标的资产现价、行权价、剩余时间、无风险利率和你预估的未来波动率（σ） 代入公式，即可计算出期权的“理论公允价格”。将此价格与市场价格比较，可以判断期权是被高估还是低估。
• 巨大贡献：BS模型首次给出了期权精确定价的解析解，奠定了整个现代衍生品定价理论的基石，其思想催生了庞大的量化金融领域。
• 主要局限与批评：
  1. 波动率恒定假设不成立：实际市场的波动率是时变的，且存在“波动率微笑”现象。
  2. 价格跳跃：假设价格连续变动，忽略了市场崩盘、公告等带来的价格跳跃。
  3. 无交易成本：与现实不符。
  4. 不适用美式期权：对可提前行权的美式期权（特别是看跌期权）定价不准确。
  5. 不适用于有股息资产：原始版本需用默顿的股息修正模型。

总结来说，布莱克-斯科尔斯模型是一个极其优美和重要的理论基石。在实践中，虽然其严格假设很难满足，但其核心逻辑——无套利、风险中性定价、动态对冲——已经成为所有复杂模型的基础。交易员们更常使用由其推导出的“隐含波动率”来评估期权价格的相对高低，而非绝对依赖其计算出的价格本身。

好的，我们详细拆解这个公式，并解释其背后的金融逻辑。

布莱克-斯科尔斯看涨期权定价公式： [ C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2) ]

这个公式计算的是欧式看涨期权在当前时刻的理论公允价值。它不是一个经验公式，而是通过无套利原理和动态对冲思想严格推导出来的结果。

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一、公式的直观理解：一个“复制组合”

这个公式最核心的金融含义是：一份看涨期权的价值，等于构建一个能完全复制其到期收益的投资组合所需的成本。

这个复制组合由两部分构成：

1. 持有 ( N(d_1) ) 份标的资产（例如股票）。
2. 借入 ( K e^{-rT} N(d_2) ) 的现金（即负债）。

因此，期权价格 = 资产头寸的价值 - 负债的现值。 [ C = (买入资产的花费) - (借来的钱) ]

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二、逐项深度解释

第一项：( S_0 N(d_1) ) —— “股票头寸”的价值

• ( N(d_1) ) 是什么？

  • 在数学上，它是看涨期权的 Delta。Delta 衡量“标的资产价格变动1元，期权价格变动多少”。例如，Delta=0.6意味着股价涨1元，期权价格大约涨0.6元。
  • 在金融工程上，( N(d_1) ) 就是为了完全对冲掉卖出这份期权所带来的风险，你需要持有的标的资产数量。这被称为“Delta对冲”。

• 为什么是 ( S_0 N(d_1) ) ？

  • 持有 ( N(d_1) ) 份现价为 ( S_0 ) 的股票，其总价值就是 ( S_0 \times N(d_1) )。这是你构建复制组合时，在股票上的初始投资。

第二项：( K e^{-rT} N(d_2) ) —— “借款”的现值

• ( K e^{-rT} ) 是什么？

  • 这是行权价 ( K ) 以无风险利率 ( r ) 折现到今天的现值。可以理解为：为了在到期日能拿出 ( K ) 元现金，今天需要借入多少钱。

• ( N(d_2) ) 是什么？

  • 这是风险中性世界中，期权到期时处于实值状态（即被行权）的概率。也就是说，在模型假设的理想世界里，到期时 ( S_T > K ) 的概率是 ( N(d_2) )。

• 为什么两项结合是 ( K e^{-rT} N(d_2) ) ？

  • 这代表了预期的行权成本支出的现值。
  • 逻辑是：只有在期权到期是实值（概率为 ( N(d_2) )）时，你才需要支付行权价 ( K ) 来买入股票。为了准备这笔可能的支出，你今天需要借入的现金，就是行权价的现值 ( K e^{-rT} )，但还要乘以它被用到的概率 ( N(d_2) )。这是一个“期望现值”的概念。

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三、一个比喻：按揭买房

你可以把这个公式想象成用期权的方式“买”房子：

• 看涨期权 = 一个权利：支付一笔定金，获得在未来以约定价格（行权价K）购买该房子的权利。
• ( S_0 N(d_1) ) = 你今天为了“复制”这个未来可能买房的权利，实际需要投入到房产市场中的资金。你不必全款买下整个房子，但你需要持有与房价波动风险相匹配的一部分房产头寸（Delta份）。
• ( K e^{-rT} N(d_2) ) = 你为了在未来有能力支付全款，今天需要申请的贷款额的现值。这笔贷款只在未来你真的行权买房（概率 ( N(d_2) ) ）时才需要动用。

期权的价格（权利金），就等于你今天为这个“复制计划”投入的自有资金（( S_0 N(d_1) )），减去你借来的贷款（( K e^{-rT} N(d_2) )）。

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四、总结：公式的精髓

1. 无套利定价：公式表明，期权的价值不是由人的主观预期决定的，而是由标的资产价格、行权价、时间、利率和波动率这五个可观测或可估计的变量，通过一个动态复制策略的成本唯一确定的。任何偏离这个价格的情况都会产生套利机会。

2. 风险中性世界：公式中的所有变量（( S_0, K, T, r, \sigma )）都是客观的，期望值计算是在一个“风险中性”的特殊世界中进行的。在这个世界里，所有资产的收益率都等于无风险利率 ( r )，这使得定价与投资者的风险偏好无关，大大简化了计算。( N(d_1) ) 和 ( N(d_2) ) 就是这个“计算世界”里的概率和系数。

3. 核心输入是波动率：在公式的五个输入中，前四个（( S_0, K, T, r )）都是市场直接给定或容易确定的。唯独波动率 ( \sigma ) 是对未来的预测，无法直接观测。因此，波动率估计的准确性直接决定了定价的准确性。这也催生了“隐含波动率”的概念——将市场价格代入公式反推出的波动率，它反映了市场对未来波动的集体预期。

所以，公式 ( C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2) ) 不仅仅是一个计算结果，它更揭示了期权价格与标的资产价格之间的动态联系，并提供了通过持有标的资产和借贷来完全对冲期权风险的理论蓝图。 这正是布莱克-斯科尔斯模型成为现代金融学基石的原因。

在布莱克-斯科尔斯期权定价模型中，N(d₁) 是一个关键组成部分。以下是其详细解释：

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N(·) 的含义

• N 表示标准正态分布的累积分布函数。
• 对于任意数值 (x)，(N(x)) 表示一个服从标准正态分布（均值为0，标准差为1）的随机变量取值小于等于 (x) 的概率。
• 在布莱克-斯科尔斯模型中，由于假设标的资产价格服从几何布朗运动，其对数收益率服从正态分布，因此 (N(\cdot)) 用于计算相关概率。

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d₁ 的含义与构成

d₁ 是一个由模型参数计算得到的中间变量，其公式为： [ d_1 = \frac{\ln(S_0 / K) + (r + \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}} ] 其中每个字母的含义如下：

符号	解释
ln	自然对数（以 (e) 为底）。
S₀	标的资产的当前价格（spot price），例如股票的现价。
K	期权的行权价格（strike price），即合约约定的未来买卖价格。
r	无风险年利率，通常采用对应期限的国债利率，在模型中假设为连续复利。
σ	标的资产价格的年化波动率（标准差），是模型的关键输入，代表资产的风险程度。
T	期权的剩余期限，以年为单位。例如，3个月到期的期权，(T = 0.25)。
σ²	波动率的平方，即方差。

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d₁ 公式的直观理解

1. 分子部分：

   • (\ln(S_0 / K))：表示当前价格与行权价比值的自然对数，反映期权的“虚实”程度。
   • ((r + \frac{\sigma^2}{2})T)：这是风险中性世界下的漂移项。其中：
     • (rT) 是无风险收益部分。
     • (\frac{\sigma^2}{2}T) 是波动率修正项，来源于伊藤引理中对数正态分布的调整。
   • 分子整体可视为“调整后的对数收益期望”。

2. 分母部分：

   • (\sigma \sqrt{T}) 是期权存续期内标的资产价格的波动幅度（标准差），用于标准化。

因此，d₁ 本质上是“标准化后的对数收益”，可以理解为在风险中性测度下，标的资产价格超过行权价的“距离”有多少个标准差。

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N(d₁) 的金融含义

• 对冲比率（Delta）：(N(d_1)) 是看涨期权的 Delta，表示标的资产价格变动1单位时，期权价格的大致变动量。例如，若 (N(d_1)=0.6)，则股价上涨1元，期权价格大约上涨0.6元。
• 复制组合的资产权重：在构建无风险对冲组合时，卖出1份看涨期权需要同时买入 (N(d_1)) 份标的资产来对冲风险。
• 概率解释：虽然严格来说到期行权的风险中性概率是 (N(d_2))，但 (N(d_1)) 也可以近似视为期权最终被行权的概率调整值，尤其在利率较低或期限较短时接近 (N(d_2))。

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总结

在布莱克-斯科尔斯公式中，(N(d_1)) 将标的资产价格、行权价、时间、利率和波动率整合为一个概率值，直接决定了期权价格中“资产头寸”的权重。理解 (d_1) 的构成及其含义，是掌握该模型动态对冲思想的关键。

在布莱克-斯科尔斯模型框架下，其他条件（行权价 (K)、无风险利率 (r)、期限 (T)）相同，比较两种情景：

• 情景1：资产价格 (S_1 = a)，波动率 (\sigma_1 = b)
• 情景2：资产价格 (S_2 = a/2)，波动率 (\sigma_2 = 2b)

期权价格的高低取决于期权类型（看涨或看跌），因为资产价格和波动率的变化对两者影响方向不同。

一、看涨期权

对于看涨期权，资产价格上升和波动率上升均会提高期权价格，但资产价格减半的负面影响通常超过波动率加倍的正面影响。数值计算表明，在多种参数设置下（包括平价、实值、虚值），情景1的看涨期权价格高于情景2。主要原因是：

• 资产价格从 (a) 减半至 (a/2) 会显著降低内在价值（尤其当 (K) 接近 (a) 时），而波动率加倍虽然增加时间价值，但不足以弥补内在价值的损失。
• 深度实值时，期权价格接近 (S - Ke^{-rT})，资产价格高的情景1明显更贵。
• 深度虚值时，两者价格均接近0，但情景2可能略高，但差异极小，通常情景1仍高于情景2。

结论：对于看涨期权，(C(a, b) > C(a/2, 2b))。

二、看跌期权

对于看跌期权，资产价格下降和波动率上升均会提高期权价格，两者变化均对看跌期权有利。因此，情景2的看跌期权价格显著高于情景1。例如，当 (a=100, K=100, b=20%, r=5%, T=1) 时：

• 情景1的看跌期权价格约为 5.56
• 情景2的看跌期权价格约为 45.74

结论：对于看跌期权，(P(a, b) < P(a/2, 2b))。

三、关系总结

期权类型	价格比较	主要原因
看涨期权	(C(a, b) > C(a/2, 2b))	资产价格减半的负面影响超过波动率加倍的正面影响
看跌期权	(P(a, b) < P(a/2, 2b))	资产价格减半和波动率加倍均对看跌期权有利

若未指明期权类型，通常默认指看涨期权，但严谨分析应区分。此结论基于布莱克-斯科尔斯模型假设，实际市场中可能存在偏差，但定性关系一般成立。

在平值看涨期权的情形下（行权价等于资产价格），资产价格为a、波动率为b的期权价格更高，即： [ C(a, b) > C(a/2, 2b) ]

原因分析

1. 内在价值影响：平值期权的内在价值为零，但价格对资产价格非常敏感（Delta ≈ 0.5）。资产价格从a减半到a/2，会直接导致期权价格大幅下降（约50%），这是主要影响因素。
2. 波动率影响：波动率从b加倍到2b会增加时间价值，但时间价值的增加通常不足以弥补资产价格下降带来的损失。在布莱克-斯科尔斯模型下，期权价格与资产价格呈线性关系，与波动率呈非线性（凸性）关系，但波动率加倍带来的价格提升幅度小于资产价格减半的负面影响。

数学推导（以无风险利率r=0为例）

当r=0时，平值看涨期权价格简化为： [ C = S_0 \left[ 2N\left( \frac{\sigma \sqrt{T}}{2} \right) - 1 \right] ] 其中(N(\cdot))为标准正态累积分布函数。

• 情景1：(C_1 = a \left[ 2N\left( \frac{b \sqrt{T}}{2} \right) - 1 \right])
• 情景2：(C_2 = \frac{a}{2} \left[ 2N\left( b \sqrt{T} \right) - 1 \right])

令(x = b \sqrt{T}/2)，则： [ \frac{C_1}{a} = 2N(x) - 1, \quad \frac{C_2}{a} = N(2x) - 0.5 ] 定义函数(f(x) = 2N(x) - N(2x) - 0.5)，可证明对于任意(x > 0)，有(f(x) > 0)，即(C_1/a > C_2/a)，故(C_1 > C_2)。

一般情形（r ≥ 0）

数值计算在不同参数下（包括正利率）均支持该结论。只有当波动率极低时两者接近，但通常(C(a, b) \geq C(a/2, 2b))，且严格大于当波动率显著时。

因此，在其他条件相同的情况下，资产价格为a、波动率为b的平值看涨期权价格更高。

在平值看涨期权情形下，当无风险利率 (r = 0) 时，资产价格 (a)、波动率 (b) 与资产价格 (a/2)、波动率 (2b) 的期权价格几乎相等。这是因为期权价格近似与 (S_0 \sigma) 成正比，而两种情景下 (S_0 \sigma) 相同（均为 (a \cdot b = 10)），因此价格接近。

然而，当无风险利率 (r > 0) 时，由于资产价格更高的期权对利率更敏感，其价格会更高；反之，若 (r < 0)，则资产价格更低的期权价格更高。实际市场中利率通常为正，因此多数情况下 (C(a, b) > C(a/2, 2b))。

计算示例（平值，(T=1) 年）

• (r = 0) 时：
  (C(100, 10%) \approx 3.9878)，(C(50, 20%) \approx 3.9828)，两者基本相等。
• (r = 5%) 时：
  (C(100, 10%) \approx 6.825)，(C(50, 20%) \approx 5.228)，前者较高。
• (r = -2%) 时：
  (C(100, 10%) \approx 3.093)，(C(50, 20%) \approx 3.540)，后者较高。

关键原因

利率通过影响期权定价公式中的折现因子和 (d_1)、(d_2) 产生作用。高资产价格情景下，利率的正面效应（减少行权价现值，增加看涨期权价值）更显著，因此在正利率环境下占优。

结论

您的直觉在零利率条件下是准确的，但实际应用中需考虑利率。通常假设正利率，故一般结论为 (C(a, b) > C(a/2, 2b))。

在布莱克-斯科尔斯期权定价模型中，计算 $d_1$ 时会出现表达式 $\frac{(\sigma^2/2) T}{\sigma \sqrt{T}}$，其简化过程如下：

[ \frac{\frac{\sigma^2}{2} T}{\sigma \sqrt{T}} = \frac{\sigma^2 T}{2 \sigma \sqrt{T}} = \frac{\sigma T}{2 \sqrt{T}} = \frac{\sigma}{2} \cdot \frac{T}{\sqrt{T}} = \frac{\sigma}{2} \cdot \sqrt{T} ]

金融含义：
在 $d_1$ 公式中，该项来源于几何布朗运动中的伊藤校正项（Itô correction）。$d_1$ 可分解为：

[ d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + rT}{\sigma \sqrt{T}} + \frac{\sigma}{2} \sqrt{T} ]

其中 $\frac{\sigma}{2} \sqrt{T}$ 体现了波动率 $\sigma$ 和时间 $T$ 对期权 Delta（即 $N(d_1)$）的联合影响。波动率越高或期限越长，该值越大，从而增加看涨期权的 Delta 和价值。该简化是模型将波动率非线性影响线性化表达的关键步骤。

在平值看涨期权（行权价等于资产价格）且其他条件（期限T、无风险利率r）相同的情况下，比较以下两种情景的期权价格：

• 情景1：资产价格 (S_1 = a)，波动率 (\sigma_1 = b)
• 情景2：资产价格 (S_2 = a/2)，波动率 (\sigma_2 = 2b)

结论是：期权价格的高低取决于无风险利率 (r) 的大小。

• 当 (r = 0) 时：两者价格几乎相等，但情景1的价格略高于情景2，差异极小（例如 (a=100, b=10%) 时，(C_1 \approx 3.9878)，(C_2 \approx 3.9828)）。
• 当 (r > 0) 时：情景1的价格高于情景2，且随着 (r) 增大，差距扩大（例如 (r=5%) 时，(C_1 \approx 6.825)，(C_2 \approx 5.228)）。
• 当 (r < 0) 时：情景1的价格低于情景2（例如 (r=-2%) 时，(C_1 \approx 3.093)，(C_2 \approx 3.540)）。

原因分析：
在布莱克-斯科尔斯模型中，利率 (r) 通过折现因子和 (d_1, d_2) 影响期权价格。对于看涨期权，较高的 (r) 会降低行权价的现值，提升期权价值。当资产价格更高时（情景1），利率的正面效应更强；而资产价格减半（情景2）会削弱这种效应。虽然波动率加倍会增加时间价值，但在平值且正利率环境下，资产价格的主导作用更显著。

因此，在通常的正利率假设下，情景1的期权价格更高，即 (C(a, b) > C(a/2, 2b))。

在平值看涨期权（行权价等于当前资产价格）的情景下，我们比较了两种期权组合：

1. 情景1：资产价格为 a，年化波动率为 b。
2. 情景2：资产价格为 a/2，年化波动率为 2b。

您的直觉是两者的“年度价格波动幅度”（价格 × 波动率）相同，均为 a × b，所以期权价格可能相近。这个想法在无风险利率 r = 0 的情况下基本正确，此时两个期权的价格确实几乎相等。

然而，在更现实的无风险利率 r ≠ 0 的情况下，结论发生了变化。最终的比较结果完全取决于利率r的正负：

• 当 r = 0 时：两者价格几乎相同，差异极小。
• 当 r > 0 时（最常见情况）：情景1的期权价格高于情景2。
• 当 r < 0 时（罕见情况）：情景2的期权价格高于情景1。

原因在于利率对期权定价的影响机制： 在布莱克-斯科尔斯模型中，高利率会降低未来行权支出的现值，从而提升看涨期权的价值。在情景1中，由于资产价格（a）更高，其价值构成中“融资”成本的节省效应（即高利率带来的好处）被放大。而在情景2中，虽然波动率翻倍增加了时间价值，但资产价格减半削弱了利率带来的正面影响。因此，在通常的正利率环境下，资产价格更高的情景1反而能获得更高的估值。

核心结论： 您的直觉在理论特殊点（r=0）成立，但在现实的正利率市场中，“资产价格高、波动率低”的平值看涨期权，其价格会高于“资产价格低、波动率高”的期权。

在比较平值看涨期权（行权价等于当前资产价格）的两种情景时，我们详细分析如下：

1. 问题设定

考虑欧式看涨期权，假设期限为 (T) 年，无风险利率为 (r)（连续复利）。比较两种情景：

• 情景1：资产价格 (S_1 = a)，波动率 (\sigma_1 = b)
• 情景2：资产价格 (S_2 = a/2)，波动率 (\sigma_2 = 2b)

其他条件相同。由于是平值期权，行权价分别等于各自资产价格，即 (K_1 = a)，(K_2 = a/2)。

2. 布莱克-斯科尔斯公式的平值简化

对于欧式看涨期权，布莱克-斯科尔斯定价公式为： [ C = S N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2) ] 其中 [ d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}. ] 在平值条件下 (S = K)，有 (\ln(S/K) = 0)，于是： [ d_1 = \frac{(r + \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}} = \left( \frac{r}{\sigma} + \frac{\sigma}{2} \right) \sqrt{T}, \quad d_2 = \left( \frac{r}{\sigma} - \frac{\sigma}{2} \right) \sqrt{T}. ] 期权价格简化为： [ C = S \left[ N(d_1) - e^{-rT} N(d_2) \right]. ]

3. 两种情景的具体表达式

情景1：(S_1 = a)，(\sigma_1 = b)，(K_1 = a) [ d_{11} = \left( \frac{r}{b} + \frac{b}{2} \right) \sqrt{T}, \quad d_{12} = \left( \frac{r}{b} - \frac{b}{2} \right) \sqrt{T}, ] [ C_1 = a \left[ N(d_{11}) - e^{-rT} N(d_{12}) \right]. ]

情景2：(S_2 = a/2)，(\sigma_2 = 2b)，(K_2 = a/2) [ d_{21} = \left( \frac{r}{2b} + \frac{2b}{2} \right) \sqrt{T} = \left( \frac{r}{2b} + b \right) \sqrt{T}, \quad d_{22} = \left( \frac{r}{2b} - b \right) \sqrt{T}, ] [ C_2 = \frac{a}{2} \left[ N(d_{21}) - e^{-rT} N(d_{22}) \right]. ]

为简化分析，定义 (x = b \sqrt{T})，(y = r \sqrt{T} / b)，则 (r \sqrt{T} = y b)。代入得：

• 情景1：(d_{11} = y + \frac{x}{2})，(d_{12} = y - \frac{x}{2})
• 情景2：(d_{21} = \frac{y}{2} + x)，(d_{22} = \frac{y}{2} - x)

4. 特殊情况：无风险利率 (r = 0)

当 (r = 0) 时，(y = 0)，且 (e^{-rT} = 1)。于是： [ d_{11} = \frac{x}{2}, \quad d_{12} = -\frac{x}{2}, \quad d_{21} = x, \quad d_{22} = -x. ] 代入价格公式： [ C_1 = a \left[ N\left(\frac{x}{2}\right) - N\left(-\frac{x}{2}\right) \right] = a \left[ 2N\left(\frac{x}{2}\right) - 1 \right], ] [ C_2 = \frac{a}{2} \left[ N(x) - N(-x) \right] = \frac{a}{2} \left[ 2N(x) - 1 \right]. ] 比较 (C_1) 和 (C_2)，即比较 (2N(x/2)-1) 与 ((2N(x)-1)/2)。定义函数： [ f(x) = 4N\left(\frac{x}{2}\right) - 2N(x) - 1. ] 若 (f(x) > 0)，则 (C_1 > C_2)；若 (f(x) < 0)，则 (C_1 < C_2)。通过数值计算：

• 当 (x = 0.1)：(N(0.05) \approx 0.51994)，(N(0.1) \approx 0.53983)，(f(0.1) \approx 0.0001 > 0)
• 当 (x = 0.5)：(N(0.25) \approx 0.59871)，(N(0.5) \approx 0.69146)，(f(0.5) \approx 0.01192 > 0)
• 当 (x = 1.0)：(N(0.5) \approx 0.69146)，(N(1.0) \approx 0.84134)，(f(1.0) \approx 0.08316 > 0)

可见 (f(x) > 0) 对所有 (x > 0) 成立，因此当 (r=0) 时，(C_1 > C_2)，但差距很小（尤其是当 (x) 较小时）。例如取 (a=100, b=0.1, T=1)，则 (x=0.1)，计算得 (C_1 \approx 3.9878)，(C_2 \approx 3.9828)，相差仅 (0.005)。

5. 一般情况：(r \neq 0)

当 (r \neq 0) 时，期权价格与利率相关。我们通过数值示例来观察规律。固定 (a=100, b=0.1, T=1)，变化 (r)：

• (r = 0.05)：

  • 情景1：(d_{11} = (0.05/0.1 + 0.1/2) = 0.5 + 0.05 = 0.55)，(d_{12} = 0.55 - 0.1 = 0.45)
    (N(0.55) \approx 0.70884)，(N(0.45) \approx 0.67364)，(e^{-0.05} \approx 0.95123)
    (C_1 = 100 \times 0.70884 - 100 \times 0.95123 \times 0.67364 \approx 6.825)
  • 情景2：(d_{21} = (0.05/0.2 + 0.2/2) = 0.25 + 0.1 = 0.35)，(d_{22} = 0.35 - 0.2 = 0.15)
    (N(0.35) \approx 0.63683)，(N(0.15) \approx 0.55962)，(e^{-0.05} \approx 0.95123)
    (C_2 = 50 \times 0.63683 - 50 \times 0.95123 \times 0.55962 \approx 5.228)
  • 结果：(C_1 > C_2)

• (r = 0.10)：

  • 情景1：(d_{11} = (0.1/0.1 + 0.1/2) = 1.0 + 0.05 = 1.05)，(d_{12} = 1.05 - 0.1 = 0.95)
    (N(1.05) \approx 0.85314)，(N(0.95) \approx 0.82894)，(e^{-0.1} \approx 0.90484)
    (C_1 \approx 10.314)
  • 情景2：(d_{21} = (0.1/0.2 + 0.2/2) = 0.5 + 0.1 = 0.6)，(d_{22} = 0.6 - 0.2 = 0.4)
    (N(0.6) \approx 0.72575)，(N(0.4) \approx 0.65542)
    (C_2 \approx 6.628)
  • 结果：(C_1 > C_2)，差距更大。

• (r = -0.02)（负利率）：

  • 情景1：(d_{11} = (-0.02/0.1 + 0.1/2) = -0.2 + 0.05 = -0.15)，(d_{12} = -0.15 - 0.1 = -0.25)
    (N(-0.15) \approx 0.44038)，(N(-0.25) \approx 0.40129)，(e^{0.02} \approx 1.0202)（注意 (e^{-rT} = e^{0.02})）
    (C_1 = 100 \times 0.44038 - 100 \times 1.0202 \times 0.40129 \approx 3.093)
  • 情景2：(d_{21} = (-0.02/0.2 + 0.2/2) = -0.1 + 0.1 = 0)，(d_{22} = 0 - 0.2 = -0.2)
    (N(0) = 0.5)，(N(-0.2) \approx 0.42074)
    (C_2 = 50 \times 0.5 - 50 \times 1.0202 \times 0.42074 \approx 3.540)
  • 结果：(C_1 < C_2)

6. 经济直觉解释

• 利率对看涨期权的影响：看涨期权的 Rho（利率敏感性）为正，即 (\frac{\partial C}{\partial r} > 0)。这是因为高利率会降低行权价 (K) 的现值，从而提升看涨期权的价值。
• 资产价格的影响：Rho 的大小与资产价格正相关。对于情景1（资产价格高），期权价值对利率更敏感；情景2（资产价格低）对利率的敏感性较低。
• 综合效果：
  • 当 (r > 0) 时，利率的正面影响更有利于高资产价格的期权，因此情景1的价格更高，且随着 (r) 增大，优势更明显。
  • 当 (r = 0) 时，利率因素消失，两者价格几乎相等，但非线性效应（由正态分布函数的凸性引起）使情景1略微占优。
  • 当 (r < 0) 时，利率为负会降低看涨期权的价值，且高资产价格的期权受损更严重，因此情景2的价格更高。

7. 结论

在平值看涨期权的比较中：

• 若 无风险利率 (r = 0)，两种期权的价格几乎相等，但 (C(a, b)) 略大于 (C(a/2, 2b))，差异很小。
• 若 (r > 0)（通常情况），则 (C(a, b) > C(a/2, 2b))。
• 若 (r < 0)，则 (C(a, b) < C(a/2, 2b))。

因此，您的直觉在 (r=0) 的特殊情况下基本正确，但在实际的正利率环境中，资产价格高、波动率低的期权价格更高。